はじめに
本シリーズ「GFS（GROW from STRUCTURE）」は、ハイレンジ型の数列問題に対して、直感ではなく構造から解を導くための知的アプローチを体系化することを目的としています。
第1回では、一般的な「等差・等比」の前に、「漸化式」という構造的スタート地点から入ることで、数列に潜む規則性の読み取り力を高めていきます。
※掲載する問題はすべてオリジナル構成であり、特定の知能検査問題を引用・模倣したものではありません。
記号と表記の定義
- 各数列は\( a_n \)の形式で表記します（\( n \)は自然数）。
- 漸化式は \( a_n = f(a_{n-1}, a_{n-2}, \ldots) \) のように、前の項に基づいて次の項を定義する形式です。
例題
数列の表層に惑わされず、構造に潜む規則性を掴む。
- 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ?
- 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ?
- 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ?
- 1, -2, 3, -4, 5, -6, 7, ?
- 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ?
例題の解説
問題1：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ?
解答:8
- 各項は前の項に +1 するだけの構造です。
- 漸化式としては \(a_1 =1\), \(a_n = a_{n-1} + 1\).
- 一般項は \( a_n = n \) になります。
これは「等差数列」の基本形です。漸化式から次の項を辿ると：
\[
\begin{aligned}
a_n &= a_{n-1} + 1 \\
&= a_{n-2} + 2 \\
&= a_{n-3} + 3 \\
&\vdots \\
&= a_1 + (n – 1)
\end{aligned}
\]
初項 \( a_1 = 1 \) より、一般項 \( a_n = 1 + (n – 1) = n \) となります。
※この一般項の正しさを数学的に証明するためには 数学的帰納法 が必要ですが、本稿では構造の理解を優先するため省略します。
問題2：1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ?
解答:128
- 各項は前の項を2倍したものです。
- 漸化式は \(a_1 = 1 \), \( a_n = 2a_{n-1} \).
漸化的に展開すると：
\[
\begin{aligned}
a_n &= 2a_{n-1} \\
&= 2^2 a_{n-2} \\
&= 2^3 a_{n-3} \\
&\vdots \\
&= 2^{n-1} a_1
\end{aligned}
\]
よって \(a_n = 2^{n-1} \).
指数的な成長が確認できます。
問題3：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ?
解答:21
- 各項は直前2項の和です。
- 漸化式は \( a_1 = 1\), \(a_2 = 1 \),
\( a_n = a_{n-1} + a_{n-2} \).
いわゆる フィボナッチ数列 です。
一般項も存在しますが（黄金比を含む複雑な式）、今回は漸化式による構造理解にとどめ、展開や計算のみに留めます。
問題4：1, -2, 3, -4, 5, -6, 7, ?
解答:-8
- 正負が交互に入れ替わる数列です。
- 絶対値は1ずつ増加。
- 漸化式の一例：\(a_1 =1 \), \( a_n = (-1)^{n+1} \cdot n \).
問題5：1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ?
解答:64
- 各項は自然数の2乗です。
- 一般項は \( a_n = n^2 \)
- 漸化式でも構成可能：\(a_1 =1 \), \( a_n = a_{n-1} + 2n – 1 \).
この漸化式は以下のように展開されます：
\[
\begin{aligned}
a_1 &= 1 \\
a_2 &= 1 + 3 = 4 \\
a_3 &= 4 + 5 = 9 \\
a_4 &= 9 + 7 = 16 \\
\vdots
\end{aligned}
\]
よって差分 \( a_n – a_{n-1} \) が奇数列 \( 2n – 1 \) になっています。
各辺の総和をとると：
\[
\begin{aligned}
\text{左辺} &= \sum_{k=2}^{n} (a_k – a_{k-1}) = a_n – a_1 = a_n – 1 \\
\text{右辺} &= \sum_{k=2}^{n} (2k – 1) = \sum_{k=1}^{n} (2k – 1) – 1 \\
&= n^2 – 1
\end{aligned}
\]
よって \( a_n = n^2 \).
練習問題
数列における成長はしばしば指数関数や階乗の形で現れる。
- 1, 2, 4, 7, 11, ?
- 1, 2, 6, 24, 120, ?
- 1, 2, 6, 15, 31, ?
- 1, 2, 4, 10, 34, ?
- 1, 2, 3, 5, 8, ?
練習問題解説
- 解答：16
漸化式：\(a_1 = 1\), \(a_{n+1} = a_n + n. \) - 解答：720
漸化式：\( a_1 = 1\), \(a_{n+1} = a_n \times (n + 1). \) - 解答：56
漸化式：\( a_1 = 1, a_{n+1}= a_n + n^2 .\) - 解答：154
漸化式：\( a_1 = 1\), \(a_{n+1}= a_n + n! .\) - 解答：13
漸化式：\( a_1
= 1\), \(a_2 = 2\), \(a_{n+2} = a_n + a_{n+1}. \)
おわりに
数列とは、記号の列に偽装された思考訓練である。― GFS構造原理
本稿では、数列における構造的な出発点として「漸化式」を取り上げ、規則性をいかに読み解くか、その初歩的アプローチを整理しました。公式を暗記するのではなく、構造そのものから法則を掴む思考様式は、数列問題に限らず、あらゆる知的課題の基盤となります。
今後は、より多様な数列など、さまざまなアプローチの可能性も視野に入ります。
本シリーズは、読者の思考と共に成長していく「開かれた構造」として設計されています。次なる問題に出会ったとき、再びこの視点が活きることを願って――。
数列とは、記号の列に偽装された思考訓練である。
― GFS構造原理
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